Réponse :
il est trop long donc je ne traite que la partie A
Partie A
fn(x) = e⁻ⁿˣ² définie sur R² avec n > 0
1) Montrer que la fonction fn est paire, que peut-on en déduire pour la courbe représentative de fn
fn(- x) = e⁻ⁿ⁽⁻ˣ⁾² = e⁻ⁿˣ² = fn(x)
donc fn(-x) = fn(x) donc fn est une fonction paire
on en déduit que courbe représentative de la fonction fn possède un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées
2) calculer, pour tout réel x, le nombre f 'n (x) où f 'n est la dérivée de fn
la fonction fn est une fonction composée dérivable sur R car la fonction de référence eˣ est dérivable sur R et le polynôme - nx² est dérivable sur R, sa dérivée f 'n est : f 'n(x) = - 2n xe⁻ⁿˣ²
3) déterminer en fonction de x le signe de f'n(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction fn
f 'n(x) = - 2n xe⁻ⁿˣ² or e⁻ⁿˣ² > 0 donc le signe de f 'n(x) dépend du signe - 2 x car n > 0
x - ∞ 0 + ∞
f'n(x) + 0 -
variations 0 →→→→→→→→→→→ 1 →→→→→→→→→→→ 0
de fn(x) croissante décroissante
Explications étape par étape :