Bonjour,
Question posée :
Calculer la valeur exacte de AG.
Correction de l'exercice :
Les droites (EF) et (AB) sont parallèles entre elles car elles sont perpendiculaires à la même droite (CB). De plus, la droite (CA) coupe les droites (EF) et (AB). Or, deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure. Ainsi, les angles CGF est CAB sont égaux. (n'oublie pas de rajouter un chapeau ^)
Les triangles CGF et CAB sont donc semblables car ils ont des angles deux à deux égaux. En effet, CGF = CAB et GFC = ABC = 90°.
Il existe donc un lien de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et entre les longueurs des côtés de l'autre triangle.
On détermine désormais la longueur de GF en sachant que d'une part, [GF] et [AB] sont des côtés homologues et d'autre part, que [CF] et [CB] sont des côtés homologues.
On obtient un rapport :
[tex]\frac{GF}{AB}=\frac{CF}{CB}[/tex] ⇒ [tex]\frac{GF}{10}=\frac{2}{3}[/tex] ⇒ [tex]GF=\frac{2*10}{3}=\frac{20}{3}[/tex] cm (valeur exacte)
Dans le triangle GCF rectangle en F, d'après le théorème de Pythagore :
GC² = GF² + FC²
GC² = [tex](\frac{20}{3})^{2}[/tex] + 2²
GC² = [tex]\frac{400}{9}[/tex] + 4
GC² = [tex]\frac{400}{9} +\frac{36}{9}[/tex]
GC² = [tex]\frac{436}{9}[/tex]
GC = [tex]\sqrt{\frac{436}{9} }[/tex] cm (valeur exacte)
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 10² + 6²
AC² = 100 + 36
AC² = 136
AC = [tex]\sqrt{136}[/tex] cm (valeur exacte)
On a :
AG = AC - GC = [tex]\sqrt{136}[/tex] - [tex]\sqrt{\frac{436}{9} }[/tex]= [tex]\frac{2\sqrt{109} }{3}-2\sqrt{34}[/tex] cm (valeur exacte)
En espérant t'avoir aidé(e).
