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Bonjour quelqu’un peut m’aider à faire cet exercice s’il vous plaît
Exercice 4 :
Dans le plan complexe, à tout point M d’affixe z différent de 4, on associe le point M’ d’affixe z’ défini par z’= z/z-4 .
1. Prouver que si M appartient à l’axe des réels privé du point d’abscisse 4, alors M’ appartient aussi à l’axe des réels.
2. Prouver que si M a pour affixe 2-2i , alors M’ appartient à l’axe des imaginaires purs.
3. a. Soit z=x+iy. Déterminer, en fonction de x et de y, la forme algébrique de z’.
b. Retrouver le résultat de la question 1.

Sagot :

Aeneas

Bonjour,

1. Soit a et b ∈ R tels que z = a + ib, affixe du point M.

Si M appartient à l'axe des réels privés du point d'abscisse 4, cela signifie que b = 0 et a ∈ R\{4}

On a alors z' = z/(z-4) = a/(a-4) ∈ R donc M' appartient aussi à l'axe des réels.

2. Soit z = 2 - 2i, on a alors :

z' = (2-2i)/(2-2i-4) = (2-2i)/(-2-2i) =(1-i)/(-1-i) = (-1+i)/(1+i)

z' = (-1+i)(1-i) / (1+i)(1-i)  (On multiplie en haut et en bas par le conjugué)

Donc z' = (-1 +i +i +1) / (1 - i+i + 1) = 2i/2 = i

Donc z' est un nombre imaginaire pur donc M' appartient à l'axe des imaginaires purs.

3. a. Soit z = x + iy, on a alors :

z' = (x + iy) / (x + iy - 4)

z' = (x + iy)(x-4 - iy) / (x-4 + iy)(x-4 - iy)

z' = (x(x-4) -ixy +ixy -4iy + y²) / ((x-4)²  -ixy +4iy + ixy -4iy + y²)

z' = (x(x-4) + y² -4iy) /  (((x-4)² + y²)

z' = (x(x-4) + y²)/  (((x-4)² + y²) + i(-4y/ ((x-4)²  + y²))

b. Si M appartient à l'axe des réels, alors z est réel c'est à dire que pour z = x + iy, y = 0.

Si y = 0, on a z'  = (x² - 4x) / (x² -8x + 16) = x(x-4)/(x-4)² = x/x-4. Donc z' est réel, donc M’ appartient aussi à l’axe des réels.

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