snouhaila384
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S'il vous plaît aidez-moi à résoudre cette question: démontrer que n(n^ 2 + 2) est un multiple de 3 pour tout n de N par récurrence​

Sagot :

hatisham

n(n²+2) est un multiple de 3

On a tout n peut être écrit sous la forme 3k ou 3k+1 ou 3k+2

On va étudier ces cas

1)Si n=3k

On remplace n par sa valeur

3k((3k)²+2)

=3(k((3k)²+2))

Donc c'est un multiple de 3

2)Si n=3k+1

On remplace n par sa valeur

(3k+1)((3k+1)²+2)    Rappel: (a+b)²=a²+2ab+b²

=(3k+1)(9k²+6k+1+2)

=(9k²+6k+3)(3k+1)

=3(3k²+2k+1)(3k+1)

Donc c'est un multiple de 3

3)Si n=3k+2

On remplace n par sa valeur

(3k+2)((3k+2)²+2)    Rappel: (a+b)²=a²+2ab+b²

=(3k+2)(9k²+12k+4+2)

=(9k²+12k+6)(3k+2)

=3(3k²+4k+2)(3k+2)

Donc c'est un multiple de 3

Alors quelque soit la valeur de n(n²+2) est un multiple de 3

Et voilà!

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