Bonjour,
f(x) = 22,32x + 268
Partie 1 :
1) f'(x) = 22,32 > 0 donc f(x) croissante sur [10 ; 30]
Donc plus le prix du jeu vidéo coutera cher, plus il y aura d'offres
2) g(x) = -0,048x³ + 4x² - 120x + 1760
g'(x) = 3 × -0,048 × x² + 4 × 2 × x - 120
g'(x) = -0,144x² + 8x - 120
on pose g'(x) = 0 ⇔ -0,144x² + 8x - 120 = 0
Δ = b² - 4ac = (8)² - 4 × (-0,144) × (-120) = -5,12 < 0 donc pas de racine dans R ainsi g(x) décroissante sur [10 ; 30]
Donc plus le prix du jeu vidéo coutera cher, plus il y aura de demandes
Partie 2 :
1) h(x) = f(x) - g(x) = 22,32x + 268 - (-0,048x³ + 4x² - 120x + 1760 )
= 22,32x + 268 + 0,048x³ - 4x² + 120x - 1760
= 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492
a = nb de demandes = nb d'offres = prix d'équilibre
h(10) = 0,048×(10)³ - 4×(10)² + 142,32×(10) - 1492 = -420,8
h(30) = 0,048×(30)³ - 4×(30)² + 142,32×(30) - 1492 = 473,6
h(10) < 0 et h(30) > 0 donc on a forcement h(x) = 0 pour a ∈ [10 ; 30]
2) h(x) = 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492
h'(x) = 0,144x² - 8x + 142,32
h'(x) = 0 soit 0,144x² - 8x + 142,32 = 0
Δ = (-8)² - 4 × 0,144 × 142,32 ≈ -17,97 < 0 donc pas de racine sur [10 ; 30]
comme a > 0 la fonction h est strictement croissante sur R
Tableau de variation de la fonction h
x | 10 α 30
h'(x) | -
h(x) | -420,8 ⇗ 0 ⇗ 473,6
h(x) = 0 admet donc une unique solution α ∈ [10 ; 30]
3) h(x) = 0 ⇔ 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492 = 0
Solution exacte : α = ((∛45(√(7313031255) - 3065750) - ∛(45(731303125255) + 3065750) + 250)/9
Solution approximative (celle demandée) : α ≈ 16,85
4) Le prix d'équilibre est donc atteint pour 16,85 € avec un nombre de jeux vendus à 22,32 × 16,85 + 268 ≈ 644
