Réponse :
Bonsoir
Calculons vₙ₊₁ - vₙ
vₙ₊₁ - vₙ = uₙ₊₂ - (1/4)uₙ₊₁ - uₙ₊₁ + (1/4)uₙ
= uₙ₊₂ - (5/4)uₙ₊₁ + (1/4)uₙ
= uₙ₊₂ - ((5/4)uₙ₊₁ - (1/4)uₙ
= uₙ₊₂ - uₙ₊₂ = 0
donc vₙ₊₁ = vₙ
La suite (vₙ) est donc constante, et vₙ = v₀ = u₁ - (1/4)u₀ = 6 - (1/4)×2 = 11/2
2) vₙ = uₙ₊₁ - (1/4)uₙ
⇔ uₙ₊₁ = (1/4)uₙ + vₙ = (1/4)uₙ + (11/2)
3) Initialisation
u₀ = 2 et u₁ = 6 donc on a bien u₀ < u₁ < 8
Hérédité
Soit un certain n tel que uₙ < uₙ₊₁ < 8 (hypothèse de récurrence)
⇔ (1/4)uₙ < (1/4)uₙ₊₁ < 2
⇔ (1/4)uₙ + (11/2) < (1/4)uₙ₊₁ < 15/2
⇔ uₙ₊₁ < uₙ₊₂ < 15/2 < 8
La propriété est donc héréditaire
Conclusion
La propriété uₙ < uₙ₊₁ < 8 est vraie pour les rangs 0 et 1 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier naturel
4) On a démontré que uₙ < uₙ₊₁ pour tout n , la suite 'uₙ) est donc croissante.
De plus , comme uₙ < uₙ₊₁ <8 , la suite est majorée par 8
La suite (uₙ) est donc strictement croissante, et majorée. Elle est donc convergente.
5) wₙ = uₙ - 22/3
wₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 22/3 = (1/4)uₙ + 11/2 - 22/3 = (1/4)uₙ - 11/6
= (1/4)(uₙ - 22/3) = (1/4)wₙ
La suite (wₙ) est donc une suite géométrique de raison 1/4 et de 1er terme w₀ = u₀ - 22/3 = 2 - 22/3 = -16/3
6) On a donc wₙ = -16/3 × (1/4)ⁿ
et comme wₙ = uₙ - 22/3 , on a uₙ = wₙ + 22/3 = -16/3 × (1/4)ⁿ + 22/3
7) on a 0 < q < 1 donc [tex]\lim_{n \to \infty} q^{n} =0[/tex]
donc [tex]\lim_{n \to \infty}( -16,3 *q^{n} )=0[/tex]
et donc [tex]\lim_{n \to \infty}( u_n )=\frac{22}{3}[/tex]
Je ne sais pas ce que vous aviez trouvé dans la partie précédente pour dire si c'est cohérent ou non
