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Bonjour pouvez vous m aider svp
Démontrer que pour quelques entier naturel n, on a : n-3< Un < n+3

Un+1= (2/3)Un + (1/3)n + 1
U0=2
U1=7/3
U2=26/9
Merci d avance !

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape :

Initialisation :si n=0, U(0)=2 et 0-3 < 2 < 0+3 est vrai

Hérédité:

On suppose la proposition vrai pour n et on démontre qu'elle est vrai pour n+1

[tex]n-3 < U_n < n+3\ est\ vrai\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) < \dfrac{2}{3}*U_{n} <\dfrac{2}{3} *(n+3)\\\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) +\dfrac{1}{3} *n +1 < \dfrac{2}{3}*U_{n} +\dfrac{1}{3} *n +1 < \dfrac{2}{3} *(n+3)+\dfrac{1}{3} *n +1\\\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) +\dfrac{1}{3} *n +1 < U_{n+1} < \dfrac{2}{3} *(n+3)+\dfrac{1}{3} *n +1\\\\\Longrightarrow \ n-1 < U_{n+1} < n+\dfrac{5}{3}\\\\\Longrightarrow \ n-3 < n-1 < U_{n+1} < n+\dfrac{5}{3} < n+3\\[/tex]

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