bjr
(E) 2x⁴ - 9x³ + 8x² - 9x + 2 = 0
1)
a) 9
si l'on donne à x la valeur 0 le 1er membre vaut 2
0 n'est pas solution de cette équation
b)
puisque x = 0 n'est pas solution on peut diviser les deux membres par x²
d'où (E')
2)
X = x + 1/x
a)
X² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² (1)
b)
2x² -9x + 8 - 9/x + 2/x² =
2x² + 2/x² - 9x - 9/x + 8 =
2(x² + 1/x²) - 9(x + 1/x) + 8 = [ (1) <=> X² - 2 = x² + 1/x² ]
2(X² - 2) - 9X + 8 =
2X² - 4 - 9X + 8 =
2X² - 9X + 4
d'où (E') <=> 2X² - 9X + 4 = 0 avec X = x + 1/x
c)
on résout l'équation en X
2X² - 9X + 4 = 0
Δ = b² − 4ac = (-9)² - 4*2*4 = 81 - 32 = 49 = 7²
il y a deux solutions
X1 = (9 - 7)/4 = 2/4 = 1/2 et X2 = (9 + 7)/4) = 16/4 = 4
on revient à la variable x
x + 1/x = 1/2 ou x + 1/x = 4
il reste à résoudre ces deux équations
• x + 1/x = 1/2 <=> 2x² -x + 2 = 0
• x + 1/x = 4 <=> x² - 4x + 1 = 0
la 1ere n'a pas de racines réelles
la seconde a pour racines : 2 - √3 et 2 + √3
