Bonsoir,
1a. VRAI. Pour que le polynôme admettent 2 racines, il faut que le discriminant soit positif.
C'est à dire b² - 4ac > 0
Si a et c sont de signes opposés, ac est négatif et -4ac est positif.
Donc b² - 4ac > 0
Donc si a et c sont de signes opposés, alors f(x) admet 2 racines.
b. FAUX. La proposition réciproque c'est :
Si f(x) admet 2 racines alors a et c sont de signes opposés.
C'est faux, il suffit de prendre un contre exemple :
x² + 4x + 1
On a b² - 4ac = 16 - 4 = 12 > 0
f(x) admet deux racines, et a et c sont de mêmes signes.
c. FAUX Si on double tous les coefficients, on peut mettre 2 en facteurs du polynome. Ces racines restent donc les même car pour résoudre 2f(x) = 0, ça revient à résoudre f(x) = 0 Donc les racines ne sont pas multipliées par 2.
2. VRAI S(x) n'admet aucune racine est la même chose que de dire que son discriminant est négatif.
On a alors b² - 16 < 0
Donc b² < 16
Donc -4 < b < 4 c'est à dire b appartient à ]-4;4[.
