Bonjour,
L'aire d'un trapèze est :
h(B+b) / 2 avec :
h la hauteur,
B la grande base,
b la petite base
On a B = AB = 6cm.
Soit H, le point d'intersection de la hauteur issue de D sur le segment [AB]
Dans le triangle rectangle AHD rectangle en H, on a l'angle DAB qui fait 45° donc ADH fait également 45°.
Donc AHD est un triangle rectangle isocèle.
Et AH = DH = h
b = B - h
On a alors [tex]A_{ABCD}[/tex] = h(6 + (6-h)) / 2 = h(12-h)/2 = -h²/2 + 6h
On cherche h tel que -h²/2 + 6h= 9
Donc-h²/2 + 6h - 9 = 0
Donc h² - 12h + 18 = 0
On cherche le discriminant Δ = (-12)² -4(1*18) = 144 -72 = 72 > 0
Donc l'équation adment 2 solutions :
h1 = (12 + 6√2) / 2 = 6 + 3√2 ≈ 10.2 cm > 0
Et h2 = (12 - 6√2) / 2 = 6 - 3√2 ≈ 1.8 cm > 0
La hauteur de ce trapèze doit être de 6 + 3√2 cm ou 6 - 3√2 cm c'est à dire environ 10,2 cm ou 1,8 cm pour que l'aire du trapèze soit égale à 9cm²
