Bonjour,
On pose x = d/g avec d > 0 et g > 0
L'expression devient alors :
x² + (1/x)² -3(x + (1/x)) + 4
Or x² + 1/x² = (x+1/x)² - 2
Donc l'expression devient :
(x+(1/x))² -3(x +(1/x)) + 4
On pose X = x + (1/x)
L'expression devient X² - 3X + 4
On étudie L'expression .
Elle a pour discriminant :
Δ = 9-8 = 1
Elle a donc pour racines :
X1 = (3+1)/2 = 2
X2 = (3-1)/2 = 1
Donc X² - 3X + 4 <= 0 pour X compris entre 1 et 2.
C'est à dire pour x + 1/x compris entre 1 et 2.
On étudie la fonction f(x) = x + 1/x
Elle est dérivable sur ]0;+∞[
f'(x) = 1 - 1/x²
Pour x ∈ ]0;1], 1 <= 1/x² donc -1/x² <= -1 donc - 1/x² + 1 <= 0
Pour x ∈ [1; +∞[; 1/x² <= 1 donc -1/x² >= -1 donc - 1/x² + 1 >= 0
f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[
Donc f atteint son minimum en 1 et f(1) = 2
Donc f(x) >= 2 sur ]0;+∞[
C'est à dire x + 1/x >= 2 sur ]0;+∞[
Donc (x + 1/x)² - 3(x + 1/x) + 4 >= 0 sur ]0;+∞[
Or d et g appartiennent à ]0;+∞[, donc d/g appartient à ]0;+∞[.
Donc (d²/g²) + (g²/d²) - 3((d/g) + (g/d)) + 4 >= 0 pour tout nombre d et g positifs.
