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Bonjour, j’ai cet exercice pour mon dm sur la dérivation, la récurrence et les limites. L’exercice est en pièce jointe.

Bonjour Jai Cet Exercice Pour Mon Dm Sur La Dérivation La Récurrence Et Les Limites Lexercice Est En Pièce Jointe class=

Sagot :

Aeneas

Bonjour,

1) On a u1 = f(u0)

Donc u1 = f(3) = (2+3*3) / (4 + 3) = 11/7

2) Soit x ∈ [0;4]

On pose u(x) = 2+3x et v(x) = 4+x

On a alors f(x) = u(x) / v(x)

Donc f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)² (formule de dérivation d'un quotient)

On a u'(x) = 3 et v'(x) = 1

Donc f'(x) = (3(4+x) - (2+3x)) / (4+x)²

On a alors :

f'(x) = (12 + 3x - 2 - 3x) / (4+x)²

f'(x) = 10 / (4+x)²

b) On a 10 > 0 et (4+x)² > 0 sur [0;4]

Donc f'(x) > 0 sur [0;4]

Donc f est strictement croissante sur [0;4]

3. On a u1 = 11/7 < 3 = u0

Donc la propriété est vraie au rang 0 (initialisation).

On suppose que la propriété est vraie au rang n >= 0, c'est à dire que :

1 <= un+1 <= un. (inéquation de récurrence)

C'est à dire que un est décroissante et minorée par 1.

On a u0 = 3

Donc 1 <= un+1 <= un <= 3

Comme un+1 <= un et que f est croissante sur [0;4] (donc aussi sur [1;3])

On a f(un+1) <= f(un)

Donc un+2 <= un+1 (inégalité droite de l'inéquation à démontrer)

On a f(1) = 1

Comme un+1 >= 1 (hypothèse de récurrence)

On a f(un+1) >= f(1) (car f est croissante sur [0;4] (donc aussi sur [1;3]))

Donc un+2 >= 1 (inégalité gauche de l'inéquation à démontrer)

D'où l'hérédité.

Au final ∀n∈N, on a 1 <= un+1 <= un

4a. D'après la propriété démontrée dans la question précédente, un est décroissante et minorée par 1. Donc un est convergente.

b. On cherche l ∈[1;3] tel que f(l) = l

On a alors :

l = (2 +3l) / (4 + l)

Donc l² + 4l = 2 +3l

l² + l - 2 = 0

Δ = 1 -4(1*(-2)) = 1+8 = 9 > 0

Le polynôme admet 2 racines :

l = (-1 + 3)/2 = 1

Et l = (-1 - 3)/2 = -2

Or un >= 1

Donc l = 1 est la seule solution possible.

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