Réponse:
Données :
OB = 1cm; AB = 2cm;
OA= OC ; BC = BF
2) calcul OA et BC
♦ OA
ABO est un triangle rectangle en B en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABO on a :
OA² = OB² + AB²
==> OA = √(OB² + AB²)
AN: OA = √(1² + 2²)
= √(1 + 4)
OA = √5 cm
♦ BC
BC = BO + OC or OA= OC
==> BC = BO + OA
AN: BC = 1 + √5 cm
3) calcule le périmètre puis l'aire du rectangle ADCB et du carré BCEF
♦ périmètre et aire du rectangle ADCB
Dans le rectangle ADCB ,
Longueur = BC = 1 + √5 cm et Largeur= AB = 2cm
Périmètre= (L + l) × 2
AN: P = (1 + √5 + 2) × 2
= (3 + √5) × 2
P = 6 + 2√5 cm
Aire = L × l
AN: Aire = (1 + √5) × 2
Aire = 2 + 2√5 cm²
♦ périmètre et aire du carré BCEF
Périmètre = Côté × 4 avec BC l'un des côtés du carré
AN: P =(1 + √5) × 4
P = 4 + 4√5 cm
Aire = Côté × Côté
AN: Aire = (1 + √5)(1 + √5)
= 1² + 2 × 1 ×√5 + (√5)²
= 1 + 2√5 + 5
Aire = 6 + 2√5 cm²
4) a. calculer le produit AF × AB puis comparer le résultat avec celui de AD²
AF = AB + BF et BF = BC
==> AF × AB = (AB + BC) × AB
AF × AB = AB² + AB × BC
AN: AF × AB = 2² + 2 × (1 + √5)
= 4 + 2 + 2√5
AF × AB = 6 + 2√5 cm²
ADCB est un rectangle donc AD = BC = 1 + √5cm et AB = DC = 2cm
AD² = (1 + √5)²
= (1 + √5)(1 + √5)
= 1² + 2 × 1 ×√5 + (√5)²
= 1 + 2√5 + 5
AD² = 6 + 2√5 cm²
Comparaison :
AF × AB = AD² = 6 + 2√5 cm²
b. Déduire que AF/AD = AD/AB = (1 + √5)/2
d'après ce qui précède :
AF × AB = AD² = 6 + 2√5 cm²
en divisant les égalités par AD , on a
(AF × AB) / AB² = AD²/AB = 6 + 2√5 / AB²
==> AF/AB = AD²/AB² = 6 + 2√5 / AB²
==> AF/AB = (AD × AD) / AB² = 6 + 2√5 / 2²
==> AF/AD = (AD × AB)/AB²= (6+ √5)/4
==> AF/AD = AD/AB = (1 + √5)/2
