Réponse :
(P): x² - 4 x + 1
(Dm): y = - 2 x + m m ∈ R
1) déterminer pour quelles valeurs de m P et (Dm) ont deux points d'intersection Am et Bm
on écrit ; x² - 4 x + 1 = - 2 x + m ⇔ x² - 2 x + 1 - m = 0
Δ = 4 - 4(1 - m) > 0 ⇔ 4 m > 0 ⇔ m > 0 ⇔ m ∈ ]0 ; + ∞[ ⇒ l'équation possède deux solutions distinctes donc 2 points d'intersection
Am(x1m ; y1m) et Bm(x2m ; y2m)
2) dans ce cas déterminer les coordonnées Am et Bm puis celle du milieu Im du segment (AmBm)
x1 = (2 + 2√m)/2 = 1 + √m ⇒ y1 = - 2(1+√m) + m = - 2 - 2√m + m
⇒ Am((1+√m) ; (- 2√m + m - 2))
x2 = (2 - 2√m)/2 = 1-√m ⇒ y2 = - 2(1-√m)+m = -2+2√m + m
⇒ Bm(1-√m ; (2√m + m- 2 ))
Im milieu du segment (AmBm) :
Im((1+√m) + (1-√m))/2 ; ((-2√m + m - 2) + ((2√m + m- 2 ))/2)
Im(1 ; m - 2)
3) déterminer le lieu du point Im pour ces valeurs de m
m ∈ ]0 ; + ∞[
il faut prendre toutes les valeurs de m et voir si Im est sur la droite Dm
m = 1 ⇒ I1(1 ; - 1) or D1: y = - 2 x + 1 ⇔ - 2*1 + 1 = - 1 donc I1 ∈ D1
m = 2 ⇒
......
m = 10 ⇒
je te laisse le soin de continuer
Explications étape par étape :