Bonjour :))
Tu trouveras ci-joint le tableau de variation de f(x)
[tex](U_n)\ d\'efinie\ par\ U_0=3\ et\ \forall n\in \mathbb N\\\\U_{n+1}=\frac{4U_n-2}{U_n+1}[/tex]
[tex]On\ pose\ f(x)=\frac{4x-2}{x+1}\\\\RAPPEL:(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\\\u=4x-2\ \ \ \ u'=4\\v=x+1\ \ \ \ v'=1\\\\f'(x)=\frac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{6}{(x+1)^{2}}\\\\On\ sait\ que\ (x+1)^{2}\geq0\ \forall x\in\mathbb R\\\Leftrightarrow f'(x)>0\ \forall x\in\mathbb R[-1]\\(-1\ est\ une\ valeur\ interdite)[/tex]
[tex]Sur\ [1;+\infty],\ f(x)\ est\ strictement\ croissante[/tex]
[tex]D\'emonstration\ par\ r\'ecurrence\\\\Initialisation: pour\ n=0\ on\ a\ U_0=3>1\\P(n)\ est\ vraie\ au\ rang\ n=0\\\\H\'er\'edit\'e:\ Supposons\ que\ \forall n\in\mathbb N,U_n>1\ alors\ montrons\\que\ P(n+1)\ est\ vraie\ aussi\ soit\ U_{n+1}>1\\\\On\ pose\ U_n>1\\f(x)\ est\ strictement\ croissante\ sur\ [1;+\infty]\\Cela\ nous\ permet\ de\ poser:\\f(U_n)>f(1)\\U_{n+1}>1\\\\CONCLUSION:\ P(n)\ est\ vraie\ au\ rang\ n=0\ et\ la\ propri\'et\'e\ est\\h\'er\'editaire\ (P(n+1)\ vraie)\\[/tex]
[tex]Donc\ \forall n\in\mathbb N,\ U_n>1[/tex]
[tex]On\ d\'efinit\ la\ suite\ (V_n)\ par\ \forall n\in\mathbb N:\ V_n=\frac{U_n-2}{U_n-1}[/tex]
[tex]Calculons\ \frac{V_{n+1}}{V_n}\ pour\ trouver\ un\ r\'eel\ q\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{\frac{U_{n+1}-2}{U_{n+1}-1}}{\frac{U_n-2}{U_n-1}}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{U_{n+1}-2}{U_{n+1}-1}*\frac{U_n-1}{U_n-2}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{\frac{4U_n-2}{U_n+1}-2}{\frac{4U_n-2}{U_n-1}-1}*\frac{U_n-1}{U_n-2} \\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{\frac{2U_n-4}{U_n+1}}{\frac{3U_n-3}{U_n+1}}*\frac{U_n-1}{U_n-2}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{2U_n-4}{3U_n-3}*\frac{U_n-1}{U_n-2}\\[/tex]
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{2(U_n-2)}{3(U_n-1)}*\frac{U_n-1}{U_n-2}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]V_0=\frac{U_0-2}{U_0-1}=\frac{1}{2}\\\\(V_n)\ est\ une\ suite\ g\'eom\'etrique\ de\ raison\ q=\frac{2}{3}\ et\ de\ premier\\terme\ V_0=\frac{1}{2}\\\\Donc\ V_n=\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}[/tex]
[tex]On\ sait\ que\ V_n=\frac{U_n-2}{U_n-1}\\\\\Rightarrow V_n(U_n-1)=U_n-2\\\Rightarrow V_n*U_n-V_n=U_n-2\\\Rightarrow V_n*U_n-U_n=V_n-2\\\Rightarrow U_n(V_n-1)=V_n-2\\\boxed{\Rightarrow U_n=\frac{V_n-2}{V_n-1}}[/tex]
[tex]U_n=\frac{\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}-2}{\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}-1}\\\\U_n=\frac{\frac{1}{2}*((\frac{2}{3})^{n}-4)}{\frac{1}{2}*((\frac{2}{3})^{n}-2)}\\\\\boxed{U_n=\frac{(\frac{2}{3})^{n}-4}{(\frac{2}{3})^{n}-2}}[/tex]
[tex]RAPPEL :\ \lim_{n \to \infty} q^{n}=0\ \ \ \ ssi\ \ \ 0<q<1\\\\Or\ q=\frac{2}{3}\ \ \ et\ \ 0<\frac{2}{3}<1\\\\Donc\ \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{n}=0\\\\Donc\ \boxed{\lim_{n \to \infty} U_n=2}[/tex]
N'hésite pas à revenir vers moi pour des infos complémentaires.
Bonne continuation ;)
