Réponse :
a) montrer que AC² = AB² + HC² - BH²
*AHC triangle rectangle en H ⇒ th. Pythagore : AC² = AH² + HC²
d'où AH² = AC² - HC²
* AHB triangle rectangle en H ⇒ th.Pythagore : AB² = AH² + BH²
d'où AH² = AB² - BH²
donc AC² - HC² = AB² - BH² ⇒ AC² = AB² + HC² - BH²
b) exprimer HC en fonction de BC et de BH
BC = BH + HC ⇔ HC = BC - BH
c) donner l'expression de cos ^B dans le triangle ABH
cos ^B = BH/AB
d) trouver la formule d'Al-Kaschi
AC² = AB² + BC² - 2 x AB x BC cos ^B
AC² = AB² + HC² - BH² ; HC = BC - BH et cos ^B = BH/AB
= AB² + (BC - BH)² - BH²
= AB² + BC² - 2BC x BH + BH² - BH²
= AB² + BC² - 2BC x BH or BH = AB x cos ^B
= AB² + BC² - 2 x BC x AB x cos ^B
d'où AC² = AB² + BC² - 2 x AB x BC x cos ^B
Explications étape par étape :