Hello,
1. f est une fonction polynôme du second ordre.
2. Je propose 3 façons de trouver la racine :
1ère façon :
On a f(x) = -2x² + 8x - 6 = -2(x² -4x + 3)
f(x) = -2((x-2)² -4 + 3) = -2((x-2)² -1) = -2(x-2)² + 2 (forme canonique)
Or -2(x-2)² <= 0 car -2 <0 et (x-2)²>=0
Donc f(x) est maximale pour -2(x-2)²=0 c'est à dire pour x = 2.
Comme x=3 est une racine de f(x) et que f(x) est maximale pour x=2, l'autre racine se trouve de l'autre côté, c'est à dire pour x = 1.
2ème façon :
On sait que f(x) a comme racine 3, on sait que f(x) est factorisable par (x-3)
On a alors f(x) = (x-3)(-2x + 2)
L'autre racine s'obtient quand-2x + 2 = 0, c'est à dire pour x = 1
3ème façon :
On calcule le discriminant
Δ = 8² - 4*2*6 = 64 - 48 = 16
Donc f(x) admet 2 racines :
x1 =( -8 + √16) / -4 = 1
Et x2 =( -8 - √16) / -4 = 3
Les 2 racines sont 3 et 1
3. On développe : -2(x-1)(x-3) = -2(x² -4x + 3) = -2x² + 8x -6 = f(x)
4. f(x) est négatif sur [-10;1], positif sur [1;3] et négatif sur [3;10]
5. f atteint son extrememum pour x=2, il est de f(2) = 2
6. L'axe de symétrie de la courbe f est une droite verticale à l'abscisse x=2.
7. C4 représente la fonction f,
Elle est la seule, en plus de couper l'axe des abscisses en 1 et 3, à avoir 2 en extremum.
De plus, elle est négative pour x<=1 et x >=3, et positive pour 1 <= x <= 3
