Réponse :
a) montrer que m+n et m-n ont la même parité
sachant que m, n ∈ N tel que m ≥ n
* 1er cas: m et n sont tous deux pairs
m = 2 p avec p ∈ N
n = 2 q avec q ∈ N
.................
m+n = 2 p + 2 q = 2(p+q) donc p' = p+q ∈ N
m+n = 2 p' ⇒ m+n est pair
m = 2 p avec p ∈ N
n = 2 q avec q ∈ N
.................
m-n = 2 p - 2 q = 2(p-q) donc p' = p-q ∈ N car p ≥ q
m-n = 2 p' ⇒ m-n est pair
* 2ème cas : m impair et n pair
m = 2 p + 1 p ∈ N
n = 2 q q ∈ N
........................
m+n = 2 p + 1 + 2 q
= 2(p+q) + 1 avec p' = p+q ∈ N
= 2 p' + 1 impair ⇒ m+n est impair
m-n = 2p+1 - 2 q
= 2(p - q) + 1 avec p' = p - q ∈ N car p ≥ q
donc m-n est impair
* 3ème cas : m impair et n impair
m+ n = 2p+1+2q+1 = 2(p+q+1) avec p+q+1 = p' ∈ N
donc m+n est pair
m-n = 2p+1 -2q - 1
= 2p-2q
= 2(p-q) avec p-q = p' ∈ N car p ≥ q
donc m-n est pair
b) résoudre dans N x N l'équation m² - n² = 196
(m + n)(m - n) = 196
m+n et m-n sont tous les deux pairs car 196 est pair et on a; m+n ≥ m-n
de plus m+n et m-n sont deux diviseurs pairs de 196
on a donc deux cas possibles
a) m+ n = 98 et m-n = 2 ⇔ m = 2 + n ⇒ m = 48 + 2 = 50
(m ; n) = (50 ; 48)
b) m+n = m-n = 14 ⇔ m = 14 et n = 0
(14 ; 0)
2 + n + n = 98 ⇔ 2 n = 96 ⇔ n = 96/2 = 48
Explications étape par étape :
