Réponse :
pour tout entier naturel n ;
Un = 5√n - 3
Vn = -2/(n+1)] + 1
1) U0 = - 3 et U1 = 2
V0 = - 2 + 1 = - 1
V1 = -2/(1+1) + 1 = 0
2) étudier le sens de variation des suites (Un) et (Vn)
Un+1 - Un = 5√(n+1) - 3 - (5√n - 3)
= 5√(n+1) - 3 - 5√n + 3
= 5√(n+1) - 5√n
= 5(√(n+1) - √n)
= 5(√(n+1) - √n)(√(n+1) +√n)/(√(n+1) + √n)
= 5(n+1 - n)/(√(n+1) + √n)
donc Un+1 - Un = 5/ (√(n+1) + √n) or (√(n+1) + √n) > 0 et 5 > 0
donc Un+1 - Un > 0 ⇒ la suite (Un) est croissante sur N
Vn+1 = - 2/(n+2) + 1 = - 2/(n+2) + (n+2)/(n+2) = (- 2 + n + 2)/(n+2) = n/(n+2)
Vn+1 - Vn = n/(n+2) - (- 2/(n+1) + 1)
= n/(n+2) - (- 2/(n+1) + (n+1)/(n+1)
= n/(n+2) - (n - 1)/(n+1)
= n(n+1)/(n+2)(n+1) - (n - 1)(n+2)/(n+1)(n+2)
= (n² + n - (n² + n - 2))/(n+1)(n+2)
= (n² + n - n² - n + 2)/(n+1)(n+2)
= 2/(n+1)(n+2)
donc Vn+1 - Vn > 0 donc Vn est une suite croissante sur N
Explications étape par étape :
