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Bonjour, 20pts

Je n'arrive pas la question 2 de cette exercice. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci

On pose, pour n ∈ N∗, a_n = 2^3n − 3^n .
1. Calculer a_1, a_2 et a_3. Conjecturer l'existence d'un diviseur de a_n, pour n ∈ N∗.
2. Démontrer cette conjecture.

Bonjour 20ptsJe Narrive Pas La Question 2 De Cette Exercice Estce Que Quelquun Pourrait Maider MerciOn Pose Pour N N An 23n 3n 1 Calculer A1 A2 Et A3 Conjecture class=

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape :

[tex]n \in \mathbb{N}*,\ a_n=2^{3n}-3^{n}\ est \ divisible\ par \ 5\\\\a_1=2^3-3=8-3=5\\\\a_2=2^6-3^2=64-9=55\\\\a_3=2^9-3^3=512-27=485\\\\\\1) Initialisation:\ a_1=5\ est\ vrai\\\\\\2) h\'er\'edit\'e:\\2^{3n}-3^{n}=5*k\ est\ vrai\\\Longrightarrow\ 2^{3n}=5*k+3^{n}\\\\2^{3(n+1)}-3^{n+1}=2^{3n}*2^3-3^n*3\\=8*(5*k+3^{n})-3*3^n\\=8*5k+8*3^n-3*3^n\\=8*5k+3^n(8-3)\\=5(8*k+3^n)\\[/tex]

est donc divisible par 5

avec 8*k+3^n impair a_n se termine par 5

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