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Sagot :
Réponse :
f(x) = √x/(2 x - 8) il faut que x > 0 et 2 x - 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4
Donc Df = ]0 ; 4[U]4 ; + ∞[
la fonction f est dérivable sur Df est sa dérivée f ' est :
'(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = √x ⇒ u'(x) = 1/2√x
v(x) = 2 x - 8 ⇒ v'(x) = 2
f '(x) = [1/2√x)(2 x - 8) - 2√x]/(2 x - 8)²
tu peux continuer le développement pour simplifier f '(x)
Explications étape par étape :
Réponse:
f(x) = √x / 2x-8
Avant de calculer la dérivée de cette fonction, il faut donner sa condition d'existence enfin de connaître le domaine de définition de la fonction.
conditions d'existence:
x >0 ==> X € ] 0; +∞[
et 2x - 8 ≠ 0 ==> 2x ≠8 ==> x ≠ 4 ==> x € ] -∞;4[ u] 4; +∞[
donc Df= ]0;4[ u ] 4 ; +∞[
La fonction f est dérivable sur ]0;4[ et sur ] 4 ; +∞[ comme quotient de fonction polynôme et
pour tout x € Df on a :
f '( x) = (u/v)' = ( u'v v'u)/v²
u(x) = √x ==> u'(x) = 1/2√x
v(x) = 2x - 8 ==> v'(x) = 2
f '(x) = [( 1/2√x) ( 2x - 8 ) - 2√x] / ( 2x - 8)²
= [ 2x/2√x - 8/2√x - 2√x ] /(2x-8)² (simplification)
==> f' (x) = [ x/√x - 4/√x - 2√x] / (2x - 8)²
==> f '(x) = [ x√x/ x - 4√x/x - 2√x] / (2x - 8)² ( conjugaison de la racine car on ne doit par avoir la racine au dénominateur)
==> f '(x) = [ √x - 4√x/x - 2√x] / (2x - 8)²
==> f '(x) = [ -√x - 4√x/x] / (2x - 8)²
==> f '(x) = [ ( -x√x - 4√x)/x] / (2x - 8)²
==>f '(x) = [ ( -4 - x)√x / x ] / (2x - 8)²
donc f '(x) = [ ( -4 - x)√x / x ] / (2x - 8)²
Explications étape par étape:
• la racine d'un nombre est toujours positif voilà pourquoi il faut préciser la condition d'existence sur X et également au dénominateur il faut préciser la condition d'existence car si le dénominateur est nul cette fonction n'existera pas
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