Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
M(x;√x) et A(2;0)
Donc :
AM²=(x-2)²+(√x-0)²
AM²=x²-4x+4+x
AM²=x²-3x+4
AM=√(x²-3x+4)
2)
a)
On résout :
√(x²-3x+4)=4
Les 2 membres sont positifs : on peut donc les élever au carré .
x²-3x+4=16
x²-3x-12=0
Δ=(-3)²-4(1)(-12)=57
x1=(3-√57)/2 qui est < 0 donc on ne retient pas.
x2=(3+√57)/2 qui est solution.
b)
√(x²-3x+4)=1
Les 2 membres sont positifs : on peut donc les élever au carré .
x²-3x+4=1
x²-3x+3=0
Δ=(-3)²-4(1)(3)=-3 < 0 donc pas de solution.
3)
f(x)=x²-3x+4
f '(x)=2x-3
2x-3 > 0 ==> x > 3/2
x------->0........................3/2......................+∞
f '(x)--->............-...............0..........+...............
f(x)----->............D...........f(3/2).....C............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
f(3/2)=(3/2)²-3(3/2)+4=9/4-18/4+16/4=7/4
4)
On résout donc AM² ≥ 7/4 soit f(x) ≥ 7/4
D'après le tableau de variation on remarque que l'on a toujours f(x) ≥ 7/4.
Donc S=[0;+∞[.
Mais si tu veux le démontrer , tu fais :
x²-3x+4 ≥ 7/4
x²-3x+16/4-7/4 ≥ 0
x²-3x+9/4 ≥ 0
x²-3x+(3/2)² ≥ 0
(x-3/2)² ≥ 0
Un carré est toujours positif (ou nul ici pour x=3/2).
Donc S= [0;+∞[
