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J'ai cette exercice à faire pour demain, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?


Soit [tex](Un)_n[/tex] défini par
[tex]\forall n \geq 2, u_{n+1} = u_n + a_{n-1}u_{n-1}, \text{avec } u_0 \geq 0 \text{ et } u_1 \ \textgreater \ 0[/tex], et la suite [tex](a_n)_n[/tex], une suite à termes positifs.

Montrer que [tex]\forall n \geq 2, u_{n+1} \leq u_ne^{a_{n-1}}[/tex]

Sagot :

Nepenthes

Réponse :

Hello !

Dans la définition de ta suite je suppose que c'est valable à partir du rang n = 1 sinon on a un problème.

Du coup on a montré que la suite était croissante (ce n'est pas évident d'avoir u1 > u0).

Pour tout n, on a que :

[tex]u_{n+1} = u_n + a_{n-1}u_{n-1} \leq u_n + a_{n-1}u_n = u_n(1+a_{n-1}) \leq u_ne^{a_{n-1}}[/tex]

Pour ce faire on a utilisé l'inégalité :

[tex]\forall x \in \mathbb R, e^x \geq 1+x[/tex]

Explications étape par étape :

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