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bonsoir j ai besoin d aide svp​

Bonsoir J Ai Besoin D Aide Svp class=

Sagot :

Réponse :

1) pour n ≥ 6   on a  2ⁿ ≥ (n + 1)²  est vraie  donc P(n) est vraie

2) on suppose  que pour  n ≥ 6  P(n) est vraie  c'est à dire  2ⁿ ≥ (n + 1)²

on doit montrer que  P(n+ 1) est vraie   c'est à dire  2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 2)²

2ⁿ ≥ (n + 1)²  ⇔ 2 x 2ⁿ ≥ 2 x (n + 1)²  ⇔ 2ⁿ⁺¹ ≥ 2 n² + 4 n + 2

 pour  n ≥ 6  ;   2 n² + 4 n + 2  ≥ (n + 2)²

étudions le signe :     2 n² + 4 n + 2  - (n² + 4 n + 4) ≥ 0

⇔ 2 n² + 4 n + 2  - n² - 4 n - 4 ≥ 0   ⇔ n² - 2 ≥ 0

          x   - ∞        - √2            √2             + ∞

      x²-2            +     0       -      0       +

donc pour n ≥ 6  on a bien que    2 n² + 4 n + 2  ≥ (n + 2)²

donc  pour  n ≥ 6; 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 2)²

donc  P(n) ⇒ P(n+1) est vraie

3) pour l'initialisation on prend  n0 = 6

Explications étape par étape :

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