Réponse :
1) {U0 = 0
{∀n ∈ N , Un+1 = Un - 3/4
elle est de la forme Un+1 = Un + r donc (Un) est une suite arithmétique de premier terme U0 = 0 et de raison r = - 3/4
Un+1 - Un = - 3/4 < 0 donc (Un) est décroissante sur N
2) Un = (1/3)ⁿ est une suite géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme U0 = 1
car elle est de la forme Un = U0 x qⁿ
(Un) est une suite décroissante sur N
car Un+1/Un = (1/3)ⁿ⁺¹/(1/3)ⁿ = 1/3)*(1/3)ⁿ/(1/3)ⁿ = 1/3 < 1 donc on a bien une suite décroissante
3) {U0 = 1
{∀n ∈ N , Un+1 = 2U²n + Un
U1 = 2U0² + U0 = 3
U2 = 2U1² + U1 = 21
U3 = 2U2² + U2 = 903
U1 - U0 = 3 - 1 = 2
U2 - U1 = 21 - 3 = 18
U1 - U0 ≠ U2 - U1 donc (Un) n'est pas une suite arithmétique
U1/U0 = 3
U2/U1 = 21/3 = 7
U1/U0 ≠ U2/U1 donc (Un) n'est pas une suite géométrique
(Un) est une suite croissante sur N
Un+1 = f(Un) donc f(x) = 2 x² + x définie sur [0 ; + ∞[
la dérivée f '(x) = 4 x + 1 ; x ≥ 0 ⇔ 4 x ≥ 0 ⇔ 4 x + 1 ≥ 1 ≥ 0 donc
4 x + 1 ≥ 0 ⇒ f '(x) ≥ 0 ⇒ f est croissante sur [0 ; + ∞[ donc (Un) est croissante sur N
ex 3
(Un) est une suite arithmétique de raison r = - 3 et U0 = - 5
1) calculer U1 , U2 et U3
U1 = U0 + r = - 5 - 3 = - 8
U2 = U1 + r = - 8 - 3 = - 11
U3 = U2 + r = - 11 - 3 = - 14
2) exprimer Un en fonction de n
Un = - 5 - 3 n
3) calculer U40
U40 = - 5 - 3 x 40 = - 125
EX4
(Un) suite arithmétique
U0 = 2 et U3 = 11
1) calculer r
Un = U0 + rn
U3 = 2 + 3 r = 11 ⇔ 3 r = 9 ⇔ r = 3
2) Un = 2 + 3 n
3) U10 = 2 + 3 x 10 = 32
4) lim U(n) = lim (2 + 3 n) = + ∞
n→ + ∞ n → +∞
Explications étape par étape :