Réponse :
exo 1 :
l' équation proposée admet trois solutions :
Z1 = 1
Z2 = -1 - 2i
Z3 = -1 + 2i
Explications étape par étape :
■ exo 1 : Z² - 2 Z* = -1
■ soit Z = a + ib
on doit donc résoudre :
(a + ib)² - 2(a - ib) + 1 = 0
a² - b² + 2iab - 2a + 2ib + 1 = 0
a² - b² - 2a + 1 + 2iab + 2ib = 0
a² - b² - 2a + 1 + 2ib(a+1) = 0
on doit donc avoir 2b(a+1) = 0
ce qui donne b = 0 ou a = -1 .
■ cas b = 0 :
a² - 2a + 1 = 0 donne (a-1)² = 0 donc a = 1 .
■ cas a = -1 :
1 - b² + 2 + 1 = 0 donne 4 - b² = 0 donc b = -2 ou b = 2 .
■ conclusion :
l' équation proposée admet trois solutions :
Z1 = 1
Z2 = -1 - 2i
Z3 = -1 + 2i = 2i - 1
■ vérif avec Z3 :
(2i - 1)² - 2(-2i - 1) = -4 - 4i + 1 + 4i + 2 = -1 vérifié !
