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bonjour pouvez vous m'aider dans cet exercice de math c pour après 2h :
soient a et b deux réels positifs:
1)comparer a+b et 2[tex]\sqrt{ab}[/tex]
2) en déduire que pour tous réels positifs a,b et c on a: (a+b)(a+c)(b+c)≥8abc
merci d'avance

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

1) a et b sont positifs, donc √a et √b existent

on a (√a - √b)² ≥ 0 ( car un carré est toujours positif)

⇔ (√a)² - 2√a√b + (√b)² ≥ 0

⇔ a - 2√ab + b ≥ 0

⇔ a + b ≥ 2√ab

2) D'après le 1) , on a :

a + b ≥ 2√ab

a + c ≥ 2√ac

b + c ≥ 2√bc

En faisant le produit des 3 inéquations membre à membre, on obtient :

(a + b)(a + c)(b + c) ≥ 2√ab × 2√ac × 2√bc

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8√(abacbc)

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8√(a²b²c²)

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc

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