Réponse :
EX1
(P) : y = x²
(Dm) ; y = m x - 1 où m un réel quelconque
discuter, suivant les valeurs de m, du nombre de points d'intersection de P et de Dm
on écrit : x² = m x - 1 ⇔ x² - m x + 1 = 0
Δ = m² - 4
si Δ > 0 ⇔ m² - 4 > 0 ⇒ m ∈ ]- ∞ ; - 2[U]2 ; + ∞[ ⇒ (P) et (Dm) ont deux points d'intersection
si Δ = 0 ⇔ m² - 4 = 0 m = - 2 ou m = -2 ⇒ (P) et (Dm) ont un seul point d'intersection ((Dm) est tangente à (P))
si Δ < 0 ⇔ m² - 4 < 0 ⇔ m ∈ ]- 2 ; 2[ ⇒ (P) et (Dm) n'ont aucun point d'intersection (ne se coupent pas)
Ex 2
1) vérifier que - 1 est solution de l'équation x³ + 5 x² - 17 x - 21 = 0
⇔ (- 1)³ + 5*(-1)² - 17*(-1) - 21 = - 1 + 5 + 17 - 21 = 21 - 21 = 0
2)
a) déterminer les réels a , b et c tels que
x³ + 5 x² - 17 x - 21 = (x + 1)(a x² + b x + c) pour tout réel x
(x + 1)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x + a x² + b x + c
= a x³ + (a + b) x² + (b + c) x + c
a = 1
a + b = 5 ⇒ b = 5 - a ⇒ b = 5 - 1 = 4
b + c = - 17
c = - 21
(x + 1)(x² + 4 x - 21)
b) en déduire les solutions de l'équation x³ + 5 x² - 17 x - 21 = 0
(x + 1)(x² + 4 x - 21) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 ou x² + 4 x - 21 = 0
Δ = 16 + 84 = 100 > 0 ⇒ 2 solutions distinctes
x1 = - 4 + 10)/2 = 3
x2 = - 4 - 10)/2 = - 7
Explications étape par étape :
