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Sagot :
Réponse :
soit P un nombre premier tel que P ≥ 3
a = (P+1)/2 et b = (P-1)/2
1) justifier que a et b sont des entiers
tous les nombres premiers supérieur ou égal à 3 sont des nombres impairs ⇒ p = 2 k + 1 k entier
donc a = (p+1)/2 = ((2 k + 1) + 1)/2 = 2(k + 1)/2 = k + 1 entier donc a est un entier
b = (p - 1)/2 = ((2 k' + 1) - 1)/2 = 2 k'/2 = k' entier donc b est un entier
2) calculer a² - b² en fonction de p
a² - b² = ((p + 1)/2)² - ((p - 1)/2)² = 1/4((p+1)² - (p - 1)²)
= 1/4((p+1+p-1)(p+ 1 - p + 1)
= 1.4((2 p * (2)) = 4 p/4 = p
donc a² - b² = p
3) démontrer que tout nombre premier p peut s'écrire comme différence de deux carrés d'entiers
a = (p+1)/2 ⇒ 2 a = p + 1 ⇔ (2 a)² = (p + 1)² ⇔ 4 a² = (p + 1)²
b = (p - 1)/2 ⇒ 2 b = p - 1 ⇔ (2 b)² = (p - 1)² ⇔ 4 b² = (p - 1)²
(p + 1)² - (p - 1)² = 4 a² - 4 b²
4 p = 4(a² - b²) ⇔ p = a² - b²
4) donner cette différence pour p = 29
a = (29 + 1)/2 = 15
b = (29 - 1)/2 = 14
29 = 15² - 14²
Explications étape par étape :
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