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Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice qui porte sur les nombres premiers.

Soit P un nombre premier supérieur ou égal à 3, a=P+1/2 et b=P-1/2

1) Justifier que a et b sont des entiers
2) Calculer a²-b² en fonction de P
3) Démontrer que tout nombre premier P peut s'écrire comme différence de deux carrés d'entiers
4) Donner cette différence pour P=29

Merci de votre aide


Sagot :

Réponse :

soit  P un nombre premier  tel que P ≥ 3

a = (P+1)/2   et   b = (P-1)/2

1) justifier que a et b sont des entiers

  tous les nombres premiers supérieur ou égal à 3  sont des nombres impairs  ⇒ p = 2 k + 1    k entier  

donc  a = (p+1)/2 = ((2 k + 1) + 1)/2 = 2(k + 1)/2 = k + 1  entier donc a est un entier

b = (p - 1)/2 = ((2 k' + 1) - 1)/2 = 2 k'/2 =  k'   entier   donc  b est un entier

2) calculer  a² - b²  en fonction de p

   a² - b² = ((p + 1)/2)² - ((p - 1)/2)² = 1/4((p+1)² - (p - 1)²)

= 1/4((p+1+p-1)(p+ 1 - p + 1)

= 1.4((2 p * (2)) = 4 p/4 = p

donc a² - b² = p

3) démontrer que tout nombre premier p peut s'écrire comme différence de deux carrés d'entiers

   a = (p+1)/2  ⇒ 2 a = p + 1  ⇔ (2 a)² = (p + 1)²   ⇔  4 a² = (p + 1)²

   b = (p - 1)/2 ⇒ 2 b = p - 1   ⇔ (2 b)² = (p - 1)²    ⇔ 4 b² = (p - 1)²

(p + 1)² - (p - 1)² = 4 a² - 4 b²

 4 p = 4(a² - b²)  ⇔ p = a² - b²

4) donner cette différence pour  p = 29

a = (29 + 1)/2 = 15

b = (29 - 1)/2  = 14

29 = 15² - 14²

Explications étape par étape :

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