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Bonjour, exercice arithmétique seconde
Le but de cet exercice est de démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant :
"Un nombre est divisible par 7 si en soustrayant le double de son chiffre des unités au nombre de dizaines on obtient un multiple de 7"
(Exemple : 5451 donne 545 - 2*1 = 543, 543 donne 54 - 2*3 = 48, et 48 n'est pas un multiple de 7 donc 5451 non plus)

Soit n un nombre entier, x son nombre de dizaines et y son chiffre des unités.
1) Exprimer n en fonction de x et y
2) On suppose que x - 2y est un multiple de 7 et on pose x - 2y = 7k, avec k entier.
Prouver qu'alors n est aussi un multiple de 7.
3) On suppose maintenant que n est aussi un multiple de 7 et on pose n = 7k', avec k' entier.
Prouver qu'alors x - 2y est aussi un multiple de 7.

Merci d'avance.

Sagot :

caylus

Réponse :

Correction

Explications étape par étape :

Soit n le nombre entier naturel, x son nombre de dizaines, y son nombre d'unités:

1) n=10*x+y

2) On sait que x-2y=7*k

n=10*x+y=10*(7k+2y)+y=70k+21y=7(10+3y) est un multiple de 7

3)

n=7*k'=10x+y ==> y=7*k'-10x

x-2y=x-2*(7k'-10x)=x-14k'+20x=21x-14k'=7(3x-2k')

est donc un multiple de 7

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