Bonjour,
Dans la suite, on considère n un entier naturel >= 1
1a ) D1 = 1 un déplacement pour un seul disque
D2 = 3 On déplace le premier disque sur une tige, le deuxième sur l'autre tige, puis on ramène le premier sur le deuxième
D3 = 7 On s'occupe uniquement des 2 premiers disques (3 déplacements) puis le 3ème disque( 1 déplacement), puis re les 2 disques(3 déplacements)
b) En suivant le même principe :
D4 = 15 On s'occupe des 3 premiers disques (7 déplacements), puis du 4ème (1 seul déplacement), puis re les 3 disques (7 déplacements)
2. On remarque que Dn+1 = 2Dn + 1
3. On conjecture Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]
Pour n=1, D1 = 2 - 1 = 1 (c'est vrai) initialisation.
On suppose que Dn est vraie, c à d : Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]
On a Dn+1 = 2Dn + 1 = 2*( [tex]2^{n} - 1[/tex]) + 1 = [tex]2^{n+1}[/tex] - 2 + 1 = [tex]2^{n+1}[/tex] - 1 (hérédité)
Donc par récurrence, on vient de démontrer que pour tout n entier naturel >=1, Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]
4. Pour 80 étages, il faut calculer D80 = [tex]2^{80}-1[/tex] = 1 208 925 819 614 629 174 706 175 secondes
soit quelque chose de l'ordre de 38 334 786 milliards d'années
