Réponse :
Un trinôme du second degré sous la forme ax² + bx +c admet une racine double si et seulement si Δ = 0 avec Δ = b² - 4ac.
Or P(x) = x² +x(-4 + α) + α
Par identification, on a :
a = 1
b = -4 + α
c = α
Ainsi, Δ = 0 ⇔ (-4 + α)² - 4 * 1 * 1 = 0 ⇔ (-4 + α)² -4 = 0 ⇔ α² + -8α + 12 = 0
Résolvons maintenant l'équation α² + -8α + 12 = 0
[tex]\Delta_2[/tex] = (-8)² - 4 * 12 * 1 = 16 = 4²
[tex]\alpha_1 = \frac{8-4}{2} = 2\\\\\alpha_2 = \frac{8+4}{2} = 6[/tex]
Ainsi, S = {2; 6}.
Réponse :
Bonjour
Un polynôme du second degré admet une racine double lorsque son discriminant est positif.
Ici, Δ = b² - 4ac = (-4 + a)² - 4a
Etudions le signe du polynôme (-4 + a)² - 4a
(-4 + a)² - 4a = 16 - 8a + a² - 4a = a² - 12a + 16
Δ = (-12)² - 4×16×1 = 144 - 64 = 80
a₁ = (12 - √80)/2 = (12 - 4√5)/2 = 6 - 2√5
a₂ = (12 + √80)/2 = 6 + 2√5
La parabole représentant ce polynôme a ici ses branches tournées vers le haut, le polynôme est donc positif à l'extérieur de ses racines, et négatif entre les racines
Le discriminant est donc positif pour a ∈ ]-∞ ; 6 - 2√5[ ∪ ]6 + 2√5 ; +∞[ .C'est donc sur cet ensemble que le trinôme P admet une racine double.
