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Sagot :
bjr
f(x) = x² - x - 6
Q1
donc f(1) = 1² - 1 - 6 = -6
Q2
a) il faut trouver la forme canonique de f
f commence par x² - x qui est le début du développement de (x - 1/2)²
mais comme (x - 1/2)² = x² - x + (1/2)² il faut retrancher (1/2)² qui est en trop et on aura
f(x) = (x - 1/2)² - 1/4 - 6 = (x - 1/2)² - 25/4
b) on remarque que 25/4 = (5/2)²
donc on a f(x) = (x - 1/2)² - (5/2)² soit a² - b² à factoriser par (a+b) (a-b)
vous savez
c) résoudre f(x) = 0
vous utilisez la factorisation- vous avez une équation produit à résoudre - vous savez aussi le faire - 2 solutions
Q3
g(x) = 0 ?
on a g(x) = -2 - (x-2)²
si g(x) = 0
alors -2 - (x-2)² = 0
soit (x-2)² = -2 - ce qui est impossible puisq'un carré est tjrs positif
donc pas de solution
Q4
f(x) = g(x)
a) il faut développer le g(x) du début d'énoncé pour tomber sur
-x² + 4x - 6 - vous utilisez (a-b)² = a² - 2ab +b² pour le faire
b) on a donc à résoudre x² - x - 6 = -x² + 4x - 6
soit 2x² - 5x = 0
vous factorisez par x - et vous avez une équation produit à résoudre
Réponse :
A traiter sans utiliser le discriminant
f(x) = x² - x - 6 et g(x) = - 2 - (x - 2)²
1) f(1) = 1² - 1 - 6 = - 6
2) a) Montrer que, pour tout réel x, f(x) = (x - 1/2)² - 25/4
f(x) = x² - x - 6 = 0
= x² - x - 6 + 1/4 - 1/4
= (x² - x + 1/4) - 6 - 1/4
= (x - 1/2)² - 25/4
b) en déduire l'expression factorisée de f(x)
f(x) = (x - 1/2)² - 25/4
= (x - 1/2)² - (5/2)² identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
= (x - 1/2 + 5/2)(x - 1/2 - 5/2)
= (x + 4/2)(x - 6/2)
f(x) = (x + 2)(x - 3)
c) résoudre f(x) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 3) = 0 produit de facteurs nul
donc x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 ou x - 3 = 0 ⇔ x = 3
3) justifier que l'équation g(x) = 0 n'admet aucune solution réelle
g(x) = 0 ⇔ - 2 - (x - 2)² = 0 ⇔ - (2 + (x - 2)² = 0 ⇔ 2 + (x - 2)² = 0
⇔ (x - 2)² = - 2 impossible car un carré est toujours positif ou nul
donc g(x) = 0 n'admet pas de solutions réelles
4) a) montrer que, pour tout réel x , g(x) = - x² + 4 x - 6
g(x) = - 2 - (x - 2)²
= - 2 - (x² - 4 x + 4)
= - 2 - x² + 4 x - 4
g(x) = - x² + 4 x - 6
b) résoudre dans R f(x) = g(x)
f(x) = g(x) ⇔ x² - x - 6 = - x² + 4 x - 6 ⇔ 2 x² - 5 x = 0
⇔ x(2 x - 5) = 0 ⇔ x = 0 ou 2 x - 5 = 0 ⇔ x = 5/2
Explications étape par étape :
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