Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
f est un polynôme du second degré donc il peut s'écrire de la forme
a x² + b x + c où a, b, c sont des réels.
il admet 2 pour racine et la somme des racines est - 7
donc la seconde racine est - 7 + 2 = - 5
ainsi les deux racines du polynôme sont connues elles sont 2 et - 5
la fonction f peut s'écrire de la forme a (x - 2)(x + 5)
ainsi f(x) = a x² + b x + c = a (x - 2)(x + 5)
on doit résoudre cette équation ce qui donne
a x² + b x + c = a (x - 2)(x + 5)
a x² + b x + c = a ( x² + 5x - 2 x - 10)
a x² + b x + c = a (x² + 3x - 10)
b)
on sait que f(0) = 6
donc a (0)² + b (0) + c = 6
donc c = 6
et f(0) = 6
donc a ((0)² + 3(0) - 10)= - 10 a
ainsi c = 6 = - 10 a
a = - 6/10 = - 3/5
Ainsi on a
- 3/5 x² + b x + 6 = - 3/5 (x² + 3x - 10)
- 3/5 x² + b x + 6 = - 3/5 x² - 9x/5 + 6
donc b = - 9/5
ainsi f(x) = - 3x²/5 - 9x/5 + 6
exo 4
un polynôme du second degré est de la forme a x² + b x + c
les deux racines sont opposées et leur produit est égal à - 4
les deux racines sont 2 et - 2 car elles sont opposées et 2 × (-2) = - 4
la courbe de la fonction f passe par A (0;2) donc
f(0) = 2
ainsi f(x) = a x² + b x + c = a (x - 2) (x + 2)
on résout l'équation ci dessus ce qui donne
a x² + b x + c = a (x² - 4)
car (x - 2) (x + 2) est de la forme (a - b)(a + b)= a² - b² avec a = x et b = 2
donc a x² + b x + c = a (x² - 4)
or f(0) = 2
donc a (0)² + b(0) + c = 2
c = 2
et f(0) = 2
donc a ((0)² - 4) = 2
- 4 a = 2
a = - 2/4
a = - 1/2
ainsi on a
- 1/2 x² + b x + 2 = -1/2 (x² - 4)
- 1/2 x² + b x + 2 = -1/2 x² + 2
donc b = 0
alors f(x) = -1/2x² + 2
