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Enoncé : montrer que 9/7 n'est pas un décimal
rappel :
1,23 = (1,23 x 100)/100 = 123/10²
4,567 = (4,567 x 1000)/1000 = 4567/1000 = 4567/10³
un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'un entier
suivit d'une virgule puis d'un nombre fini de chiffres décimaux
Si un nombre décimal comporte n chiffres décimaux en le multipliant puis
en le divisant par 10ⁿ on obtient un entier divisé par une puissance de 10.
soit a/ 10ⁿ
- - - - - - - - - - - - - -
un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire
sous la forme
a/10ⁿ (a entier relatif et n naturel)
- - - - - - - - - -
raisonnement par l'absurde
1) hypothèse
on suppose que 9/7 est un décimal
2) raisonnement
alors 9/7 peut s'écrire sous la forme a /10ⁿ
9/7 = a/10ⁿ
9 x 10ⁿ = 7a (produits en croix)
3² x (2 x 5)ⁿ = 7 x a
3² x 2ⁿ x 5ⁿ = 7 x a (1)
les facteurs premiers du 1er membre sont 2 ; 3 et 5
Dans le second membre on a le facteur premier 7.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 7 x a
ne peut être égale à celle du 1er membre puisque le facteur 7
n'est pas dans 3² x 2ⁿ x 5ⁿ
l'égalité (1) ne peut exister.
cela signifie que l'hypothèse faite au départ (9/7 est un décimal)
est fausse
3) conclusion
9/7 n'est pas un décimal
