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Sagot :
Réponse :
N=3816547290
Explications étape par étape :
La méthode est longue, calculatoire et sujette a des erreurs mais fonctionne :
1) On pose N=ABCDEFGHIJ où A est le premier chiffre, B le deuxième,...,J le dernier
2) On sait que N multiple de 10 donc il se finit par 0 => J=0
3) On sait que les premiers chiffre de N (ABCDE) multiple de 5 => E = 0 ou 5, 0 est déjà pris => E=5
On a alors N=ABCD 5 FGHI 0
4)Après on sait que B,D,F,H doivent être paire (à cause de la divisibilité par 2,4,6 et 8), chiffres pairs différent de 0 (à cause du J=0)
On remarque aussi qu'on à 4 chiffres paires pour 4 possibilités donc A,C,G,I seront des chiffres impairs différents de 5 (à cause de E=5)
5) Après il suffit de voir toutes les possibilités avec le critère de divisibilité de 2
AB : 12,14,16,18,32,34,36,38,72,74,76,78, 92,94,96,98
Afin d'être efficace on peut rajouter l'information de la somme de ses chiffres (exemple : 12 donne 3, 92 donne 11) cela sera utile pour les divisibilités de 3 et 6
6) On fait de même avec celui pour trois en partant des 16 possibilités trouvé en 5. Il faudra faire attention que la somme des chiffres soit divisible par 3 et que les trois chiffres soit différents (exemple : 123 somme : 6 et trois chiffres différent donc accepté). Sauf erreurs de calcul je suis a 40 possibilités pour les nombre à 3 chiffres. (donc 40 possibilités pour ABC)
7)Pour le critère par 4, on regarde les deux derniers chiffres (CD),C est impair donc D=2 ou 6 (on passe à 46 possibilités en rajoutant les règles : tous les chiffres doivent être different (A,B,C et D) et C [tex]\neq 5\\[/tex]
On garde toujours la somme des chiffres à cotés pour le critère de divisibilités 6.
8) on connait déjà E
9) On arrive au nombre ABCDEF à tester. En partant des 46 possibilités et la somme, on regardes si le nombre est divisible par 3.
Exemple: 12365 possibilités de ABCDE sa somme donne 17 pour que ABCDEF soit divisible par 3 il faut que 17+F divisible par 3 (donc égale à 18,21,24,27,30,...). Cela est possible pour F =4 (on doit garder en tête que F est paire et que tout les chiffres sont différents)
Autres exemple :18925 possibilité de ABCDE sa somme donne 25 pour que ABCDEF soit divisible par 3 il faut que 25+F divisible par 3 (donc égale à 27,30,33,36). Cela est possible pour F =2 ou 8 mais 2 ou 8 sont déjà au nombre donc 189252 et 189258 ne sont pas des possibilité pour ABCDEF.
Sauf erreurs de ma part j'arrive à 20 possibilités pour ABCDEF
10 version 1) Une fois toutes les possibilités trouvé on peut regarder la division par 7 (ici c'est assez calculatoire si on le fait sans calculette, sinon verif de chaque possibilité (les 40 possibilités ). Si on utilise cette version (11 possibilités restantes) puis on fais le 10 version 2 en connaissant G pour les 11 possibilités.
10 version 2) Le chiffre H (dernier nombre paire) est identifiable sur chaque possibilités, on regardes alors les possibilités pour GH divisible par 8.
Exemples: 129654 divisible par 6, il reste 3 ou 7 pour G et H=8, 38 et 78 ne sont pas divisibles par 4 donc on supprimes ces possibilités
381654 divisible par 6, il reste 7 et 9 pour G et H=2, 92 n'est pas divisible par 8 (92/4 = 23 et 23 pas divisible par 2 ou 92/2 = 46/2=23 et 23 pas divisible par 2). Apres 72 est divisible par 8 (72/8=9) donc 38165472 est une solution.
Après vérification de chaque possibilités il reste 1 seul possibilité : 38165472
11) On rajoute le dernier nombre impaire, on a alors ABCDEFGHI définit par 381654729 divisible par 9 car 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 divisible par 9
12) on rajoute le 0 pour la divisibilité par 10 et on a N= 3816547290 (A=3,B=8,C=1,D=6,E=5,F=4,G=7,H=2,I=9,J=0)
Comme j'ai dit c'est assez long et sujette à erreur mais cela fonctionne
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