Réponse :
Bonjour,
1) On sait que ABH est un triangle rectangle en H tel que AB = 6 et [tex]A\^BH = 60^\circ[/tex]. On cherche la longueur des côtés AH et BH.
On se sert alors de la trigonométrie:
[tex]sin(A\^BH) = \dfrac{AH}{AB}\\\\\Leftrightarrow AH = sin(A\^BH) \times AB\\\\\Leftrightarrow AH = sin(60) \times 6\\\\\Leftrightarrow AH = 3\sqrt{3}[/tex]
[tex]cos(A\^BH) = \dfrac{BH}{AB}\\\\\Leftrightarrow BH = cos(A\^BH) \times AB\\\\\Leftrightarrow BH = cos(60) \times 6\\\\\Leftrightarrow BH = 3[/tex]
b) HC = BC – BH
HC = 8 – 3
HC = 5
2) On sait que AHC est un triangle rectangle en H.
D'après le théorème de Pythagore:
AC² = AH² + HC²
AC² = (3√3)² + 5²
AC² = 52
AC = √52 soit 2√13
3) On sait que AHC est un triangle rectangle en H tel que AH = 3√3 , AC = 2√13 et HC = 5. On cherche la mesure de l'angle [tex]A\^CH[/tex].
On peut alors utiliser la trigonométrie:
[tex]sin(A\^CH) = \dfrac{AH}{AC}\\\\\Leftrightarrow A\^CH = sin^{-1} \left(\dfrac{AH}{AC}\right)\\\\\Leftrightarrow A\^CH = sin^{-1} \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\right)\\\\\Leftrightarrow A\^CH = 46^\circ[/tex]
4) C.f pièce jointe du schéma complété.
Le point I désigne le milieu de [AC].
[tex]Donc \ AI = IC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}[/tex]
On sait que J ∈ [AH] et que I ∈ [AC] de sorte que (JI) // (HC).
D'après le théorème de Thalès:
[tex]\dfrac{AH}{AJ} = \dfrac{AC}{AI} = \dfrac{HC}{JI}\\\\\\\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{3}}{AJ} = \dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \dfrac{5}{JI}[/tex]
[tex]D'o\`u \ JI = \dfrac{5 \times \sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{5}{2}[/tex]
