Bonjour,
1) a) 2³ grains sur la 4ème case, 2⁹ sur la 10ème case, 2³¹ sur la 32ème case.
b) Exprimons la quantité de grains S nécessaire pour remplir tout l’échiquier.
S = 2⁰+2¹+2²+2³... +2⁶³
2) a) 1+2 = 2²-1
3 = 4-1
3 = 3 L’égalité est vraie
1+2+2² = 2³-1
1+2+4 = 8-1
7 = 7 L'égalité est vraie
1+2+2²+2³ = 2⁴-1
1+2+4+8 = 16-1
15 = 15 L'égalité est vraie
b) S = 2⁶⁴-1
c) 2⁶⁴-1 = 1,844 674 407 370 955 161 5×10¹⁹ (valeur approchée ≈ 1,84×10¹⁹)
d) 2³²×2³²
= 4 294 967 296 × 4 294 967 296 = 18 446 744 073 709 551 615
3) Dans 1m³, on peut ranger environ 1,5×10⁶ grains de blé.
Le roi dispose d’un grand grenier de 5 mètres de large sur 10 mètres de long.
Déterminons la hauteur à prévoir pour stocker la quantité de grains de blé que recevra Sessa.
Le volume à prévoir pour stocker les grains :
[tex]V = \frac{nombre \: total \: de \: grains}{nombre \: de \: grains \: dans \: 1 \: m {}^{3} }[/tex]
[tex]V = \frac{18 \: 446 \: 744 \: 073 \: 709 \: 551 \: 615}{1.5 \times 10 {}^{6} } \\ [/tex]
[tex]ou \: V = \frac{2 {}^{64 } - 1 }{1 \: 500 \: 000}[/tex]
Soit h la hauteur (en mètres) du grenier pour stocker tous les grains.
[tex]h = \frac{V}{l \times L}[/tex]
où l et L désignent respectivement la largeur et la longueur en mètres du grenier
[tex]h = \frac{ \frac{18 \: 446 \: 744 \: 073 \: 709 \: 551 \: 615}{1.5 \times 10 {}^{6} } }{5 \times 10} \\ = \frac{18 \: 446 \: 744 \: 073 \: 709 \: 551 \: 615}{1.5 \times 10 {}^{6} \times 5 \times10 } \\ = \frac{18 \: 446 \: 744 \: 073 \: 709 \: 551 \: 615}{7.5 \times 10 {}^{7} } \\ ≈245 \: 956 \: 587 \: 649 \: m[/tex]
La hauteur sera donc environ égale à 245 956 587,649 km.
Comparons cette longueur à la distance de la terre au soleil.
La distance Terre-Soleil est de d = 149 597 870 km environ.
[tex]\frac{h}{d} = \frac{245 \: 956 \: 587.649}{149 \: 597 \: 870} \\ ≈1.64[/tex]
On en déduit que la hauteur du grenier sera environ 1,64 fois la distance séparant la terre au soleil.
4) Calculons le nombre d’années qu’il faudra au brahmane pour dénombrer l’ensemble des grains.
On sait qu’il faudra 6 mois au brahmane pour compter 1 m³ .
volume de grains × nombre d'années pour compter 1 m³ =
[tex] \frac{ \frac{V}{1} }{2} [/tex]
Donc :
[tex] \frac{2 {}^{64} - 1 }{1 \: 500 \: 000} \times \frac{1}{2} \\ ≈6.15 \times 10 {}^{12} \: années[/tex]
Le brahmane sera mort avant d’avoir fini de compter.
♔ ♚ ♕ ♛ ♖ ♜ ♘ ♞ ♗ ♝ ♙ ♟