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Bonjour, j'aurais absolument besoin de votre aide pour ce devoir de maths s'il vous plait :)

Un vendeur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8% des colonies durant l'hiver.
Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.
On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite (Cn) le terme Cn donnant une estimation du nombre de colonies en juillet de l'année 2014+n.
Ainsi C₀ = 300 est le nombre de colonies en 2014.

1. a. Calculer C₁ et interpréter le résultat.
b.Justifier que, pour tout entier naturel n par Cn+₁ = 0,92Cn + 50

2.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier n par Vn = 625 - Cn
a. Calculer V₀
b. Montrer que la suite (Vn) est géométrique et préciser sa raison.
c. Exprimer Vn en fonction de n.
En déduire que pour tout entier n, Cn = 625 - 325 x 0,92ⁿ
d. Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2020 ?

3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
A l'aide de la calculatrice, donner une réponse à cette question de l'apiculteur.

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

326 colonies en 2o15 ; 428 colonies en 2o20 ;

600 colonies en 2o45

Explications étape par étape :

■ tableau-résumé :

   année --> 2o14   2o15   2o16   2o17   2o18   2o19   2o20

     rang -->     0         1          2         3         4         5        6

colonies -->  300    326      350    372     392    411     428

        Vn -->   325    299      275    253    233    214     197

■ Vo = 325

  V6 = Vo x q^6 devient 197 = 325 x q^6

                                        q^6 = 197/325 ≈ 0,606154

                                          q   ≈ 0,92

   on peut admettre que la suite (Vn) est géométrique

décroissante de terme initial Vo = 625 et de raison q = 0,92

   vérif :

   Vn --> 325   299   275   253   233   214   197   OK !

■ on aura 600 colonies ( le double du départ )

   lorsque Vn vaudra 25 :

   --> on doit résoudre : 325 x 0,92^n = 25

                                                  0,92^n ≈ 0,076923  

                                                           n ≈ 31

  vérif : n = 31 est le rang de l' année2o45

            V31 = 325 x 0,92^31 ≈ 24,5

            d' où C31 ≈ 625 - 24,5 ≈ 600,5 colonies !

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