Réponse :
1) f(x) = (x + 1)/(x²+1)
a) sur quel ensemble la fonction f est dérivable ?
le polynôme x + 1 est dérivable sur R
le polynôme x² + 1 est dérivable sur R
le quotient est dérivable sur R
donc la fonction f est dérivable sur R et sa dérivée est f '
b) calculer la fonction dérivée f '
f(x) = (x+1)/(x²+1)
f'(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x + 1 ⇒ u'(x) = 1
v(x) = x²+1 ⇒ v'(x) = 2 x
f '(x) = ((x²+ 1) - 2 x(x + 1))/(x²+1)² = (x² + 1 - 2 x² - 2 x)/(x²+1)²
f '(x) = (- x² - 2 x + 1)/(x²+1)²
c) résoudre f '(x) = 0
f '(x) = 0 ⇔ (- x² - 2 x + 1)/(x²+1)² = 0 ⇔ - x² - 2 x + 1 = 0
Δ = 4 + 4 = 8 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
x1 = 2+2√2)/-2 = - 1-√2
x2 = 2-2√2)/-2 = - 1+√2
en déduire les intervalles où la fonction est croissante et décroissante
(x²+1) > 0
la fonction f est croissante sur l'intervalle [-1-√2 ; -1+√2]
la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; -1-√2]U[-1+√2 ; + ∞[
2) mêmes questions avec la fonction f définie par f(x) = (x+1)/√x
a) f est dérivable sur ]0 ; + ∞[
b) f '(x) = (√x - (1/2√x)(x + 1))/(√x)²
= (2 x - x -1)/2x√x √x = x car x > 0
f '(x) = (x - 1)/2x√x
c) f '(x) = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1
2 x√x > 0
f est croissante sur l'intervalle ]0 ; 1]
f est décroissante sur l'intervalle [1 ; + ∞[
Explications étape par étape :
