Explications étape par étape:
Bonsoir, un exercice relativement peu abordable, il nécessite un peu de réflexion.
En premier lieu, lorsqu'il est évoqué "aire du triangle", il s'agit d'un indice pour la résolution, il faudra donc utiliser la formule :
Aire ABM = Base * hauteur / 2.
En observant la configuration du triangle, ainsi que le point M, tu peux déduire 2 choses :
1- La base = Distance AB.
2- Si tu projettes M sur l'axe des abscisses (entre A et B), tu obtiens la hauteur du triangle AMB (tu peux éventuellement t'aider en recherchant des images sur le net).
Concernant cette hauteur : La position du point M est délimitée par la courbe C. Si tu appelles xM, l'abscisse du point M, alors son ordonnée yM vaut : yM = - xM^2 + 11*xM - 18. (on remplace x par xM). Ceci correspond à la hauteur du point M. (^2 = au carré).
Il reste cependant un problème (pas des moindres), calculer la distance AB.
Pour cela, on résout l'équation : - x^2 + 11*x - 18 = 0. Le discriminant D vaut : D = (11^2) - 4*(-18)*(-1) = 121 - 72 = 49.
Le discriminant étant strictement supérieur à 0, 2 solutions :
x1 = (-11 - Rac(D)) / (-2) = (11 + 7) / 2 = 9.
x2 = (-11 + Rac(D)) / (-2) = (11 - 7) / 2 = 2.
Ici, Rac(D) = Racine du discriminant.
Tu peux vérifier ce résultat sur le graphique, 2 points d'intersection, en x = 2 (qu'on appellera A), en x = 9 (qu'on appellera B).
La distance AB vaut donc : AB = 9 - 2 = 7.
Ceci étant obtenu, il nous est possible d'exprimer l'aire du triangle AMB :
Aire AMB = 7 * (-xM^2 + 11*xM - 18) = - 7*xM^2 + 77*xM - 126.
Désormais, il nous faut maximiser cette expression. Il s'agit d'une parabole, orientée vers le bas (puisque le coefficient devant xM^2 est négatif). Le cours nous apprend que le sommet S (donc le maximum) de cette parabole, a pour abscisse : xS = - 77 / - 14 = 11/2.
Identiquement, on peut calculer l'ordonnée sur la courbe : yM = - (11/2)^2 + 11*(11/2) - 18 = 49/4.
On remplace la valeur de xS dans l'expression de xM pour obtenir l'aire maximale : - 7*(11/2)^2 + 77*(11/2) - 126 = (11/2) * [-7*(11/2) + 77] - 126 (on factorise par 11/2).
= (11/2) * [-77/2 + 77] - 126
= (11/2) * 77/2 - 126
= (847/4) - 126
= 343/4 cm^2.
Je te l'accorde, assez complexe, il faut procéder méthodiquement, pour ne pas s'emmêler les pinceaux.
Conclusion : Le point M doit être placé à xM = xS = 11/2, et à yM = 49/4 (qui est son image sur la courbe). De +, avec cette configuration, l'aire AMB vaudra 343/4 cm^2.
Bonne soirée
