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bonjour j’ai besoin d’aide pour l’exercice 13 que je ne comprends pas svp niveau spe maths terminale

Exercice 13: Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n 21,
n(n+1)
Ek=1 k = 1 + 2+ ... +n= (somme d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de
raison 1).
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Bonjour Jai Besoin Daide Pour Lexercice 13 Que Je Ne Comprends Pas Svp Niveau Spe Maths Terminale Exercice 13 Démontrer Par Récurrence Que Pour Tout Nombre Enti class=

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

Soit P(n) la propriété : 1 + 2+ 3 + .... + n = n(n + 1)/2

Initialisation

Pour n = 1 la somme est égale à 1 , et 1(1 + 1)/2 = 2/2 = 1

P(0) est donc vraie

Hérédité

Soit un entier k tel que 1 + 2 + 3 +.... + k = k(k + 1)/2 (hyp. de récurrence)

⇔ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)

                                            = k(k + 1)/2 + 2(k +1)/2

                                            = [k(k + 1) + 2(k + 1)]/2

                                            = [(k + 1)(k + 2)]/2

P(k + 1) est donc vraie

La propriété P(n) est héréditaire

Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 , et elle est héréditaire.

Donc pour tout n entier naturel, on a :

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

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