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Sagot :
Bonsoir,
Soit x l'arête du grand cube (considéré plein).
Soit y l'arête du petit cube.
On sait que le volume d'un cube est V = a^3, avec a la longueur d'une arête.
On connaît également le volume du solide, qui n'est autre que le volume du grand cube auquel on soustrait celui du petit.
V(solide) = x^3 - y^3 = 208
On sait que x = y + 4.
On remplace :
(y + 4)^3 - y^3 = 208
On développe et on simplifie :
(y + 4)(y + 4)² - y^3 = 208
(y + 4)(y² + 8y + 16) - y^3 = 208
y^3 + 8y² + 16y + 4y² + 32y + 64 - y^3 = 208
12y² + 48y + 64 = 208
On passe le 208 à gauche :
12y² + 48y + 64 - 208 = 0
12y² + 48y - 144 = 0
On résout cette équation du 2nd degré :
Δ = b² - 4ac
= 48² - 4*12*(-144)
= 9216
9216 > 0 donc 2 racines réelles
y1 = (-b-√(Δ))/(2a) = (-48-96)/(2*12) = -6 ← Une longueur ne peut pas être négative, on élimine cette racine.
y2 = (-b+√(Δ))/(2a) = (-48+96)/(2*12) = 2
On en déduit x = y2 + 4 = 2 + 4 = 6m.
bjr
inconnue :
soit x la longueur d'une arête du petit cube supprimé
Le grand cube a pour arête : x + 4 et pour volume (x + 4)³
Le cube supprimé a pour arête x et pour volume x³
mise en équation :
(x + 4)³ - x³ = 208 (1)
• on développe (x + 4)³
(x + 4)³ = (x + 4)² * (x + 4)
= (x² + 8x + 16)(x + 4)
= x³ + 4x² + 8x² + 32x + 16x + 64
= x³ + 12x² + 48x + 64
on reprend (1)
(x + 4)³ - x³ = 208
x³ + 12x² + 48x + 64 - x³ = 208
12x² + 48x + 64 - 208 = 0
12x² + 48x - 144 = 0
12(x² + 4x - 12) = 0
x² + 4x - 12 = 0
on calcule les racines de cette équation
discriminant
Δ = b²− 4ac = 4² - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64 = 8²
il y a deux solutions
x1 = (-4 - 8)/2 = -6 et x2 = (-4 + 8)/2 = 2
on élimine la racine négative (on chercher une longueur)
il y a une solution qui est : 2 m
l'arête du grand cube est : 6 m (4 + 2)
on vérifie
volume grand cube : 6³ = 216 (m³)
volume du cube manquant : 2³ = 8 (m³)
216 - 8 = 208
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