Laurentvidal.fr est l'endroit idéal pour trouver des réponses rapides et précises à toutes vos questions. Notre plateforme de questions-réponses offre une expérience continue pour trouver des réponses fiables grâce à un réseau de professionnels expérimentés. Trouvez des solutions détaillées à vos questions grâce à une large gamme d'experts sur notre plateforme conviviale de questions-réponses.
Sagot :
Réponse :
{U0 = 2
{∀n∈N, Un+1 = 1 + 1/(1+Un)
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel; 1 ≤ Un ≤ 2
1) Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
U0 = 2 ⇒ 1 ≤ 2 ≤ 2 donc 1 ≤ U0 ≤ 2 ⇒ P(0) est vraie
2) hérédité : supposons que pour tout entier naturel n; P(n) est vraie
⇔ 1 ≤ Un ≤ 2 et montrons que P(n+1) est vraie
Un+1 = 1 + 1/(1 + Un)
= ((1 + Un) + 1)/(1+Un)
= (2 + Un)/(1 + Un)
sachant que 1 ≤ Un ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 1 + Un ≤ 3 ⇔ 1/3 ≤ 1/(1+Un) ≤ 1/2
1 ≤ Un ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 2 + Un ≤ 4
Donc par produit 3 x 1/3 ≤ (2+Un) x 1/(1 + Un) ≤ 4 x 1/2
on obtient donc 1 ≤ Un+1 ≤ 2 donc P(n+1) est vraie
3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 0
et héréditaire à partir de ce rang; donc elle est vraie pour tout entier naturel n
Explications étape par étape :
Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Nous apprécions votre temps. Revenez quand vous voulez pour obtenir les informations les plus récentes et des réponses à vos questions. Nous sommes heureux de répondre à vos questions. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de réponses.
