Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
sur [-10;10]
soit D = [-10;10]
f(x) = x³ + x² - x - 1
f est dérivable sur D
f'(x) = 3x² + 2 x - 1
f'(x) s'annule si 3x² + 2 x - 1 = 0
calculons le discriminant Δ = b² - 4 a××c avec a = 3, b= 2, c = -1
Δ = (2)² - 4 × 3 ×(-1)
Δ = 4 + 12
Δ = 16 > 0 et √Δ = 4
donc l'équation 3x² + 2 x - 1 = 0 admet deux solutions
x₁ = (- b + √Δ ) / (2a) et x₂= (- b - √Δ ) / (2a)
x₁ = ( - 2 + 4)/(2×3) et x₂= ( - 2 - 4)/(2×3)
x₁ = 2/6 et x₂= -6/6
x₁ = 2/6 = 1/3 et x₂= -1
x₁ = 1/3 ∈ D et x₂= - 1
f'(x) peut s'écrire a(x - x₁) (x -x₂) donc f'(x) = 3 (x -1/3)(x +1)
tableau de signe
x - 10 -1 1/3 10
3(x - 1/3) - - ⊕ +
x + 1 - ⊕ + +
f' + ⊕ - ⊕ +
f croissante décroissante croissante
f(-10)= (-10)³ + 10² - 10 - 1 = - 1000 + 100 - 10 - 1 = - 911
f(10) = (10)³ + 10² - 10 - 1= 1000 + 100 - 10 - 1 = 1089
f(1/3) = (1/3)³ + (1/3)² - 1/3 - 1 = 1/27 + 1/9 - 1/3 - 1
f(1/3) = 1/27 + 3/27 - 9/27 - 27/27
f(1/3) = - 32/27 ≈ -1,19
f(-1) = (-1)³ + 1² - 1 - 1 = -1 + 1 - 1 - 1 = -2
f(1) = 1³ + 1² - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0
tableau de signe de f
x - 10 -1 1/3 1 10
signe de f - ⊕ +
donc f(x) > 0 si x ∈ ]1;10]
