Réponse :
1) montrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en B
vec(AB) = (0 - 1 ; (√2 - 4) - √2) = (- 1 ; - 4) ⇒ AB² = (-1)²+(-4)² = 17
vec(BC) = (4-0 ; (√2 - 5) - (√2 - 4)) = (4 ; - 1) ⇒ BC² = 4² + (-1)² = 17
vec(AC) = (4 - 1 ; (√2 - 5) - √2) = (3 ; - 5) ⇒ AC² = 3²+(-5)² = 34
on a ; AB = BC et d'après la réciproque du th.Pythagore
AB²+ BC² = 34
AC² = 34
donc on bien AB²+BC²=AC² vérifiée donc le triangle ABC est isocèle rectangle en B
2) calculer les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au triangle ABC
le triangle isocèle rectangle ABC a pour hypoténuse AC qui est aussi le diamètre du cercle circonscrit
donc M est milieu de (AC) : M((4+1)/2 ; (√2 - 5 + √2)/2)
donc les coordonnées du centre M sont : (5/2 ; (2√2 - 5)/2)
AC² = 34 ⇒ AC = 2 R = √34 ⇒ R = (√34)/2
3) calculer les coordonnées des centres respectifs P et Q des cercles circonscrits aux triangles AMB et BMC
puisque ABC est un triangle isocèle rectangle en B ⇒ (BM) ⊥ (AC)
car BM est une hauteur de ABC
Donc AMC et BMC sont des triangles rectangles en M
P milieu de (AB) ⇒ P((0 + 1)/2 ; ((√2 - 4) + √2)/2) = P(1/2 ; (2√2 - 4)/2)
P(1/2 ; √2 - 2)
Q milieu de (BC) ⇒ Q((4+0)/2 ; (√2 - 5) + ((√2 - 4))/2)
Q(2 ; 2√2 - 9)
Explications étape par étape :