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Sagot :
Réponse :
2) étudier le sens de variation de la suite (Un)
Un = f(n) f définie sur [0 ; + ∞[
f(x) = (x + 1)(x - 2) = x² - x - 2
f '(x) = 2 x - 1
x 0 1/2 + ∞
f '(x) - 0 +
donc f '(x) ≤ 0 sur [0 ; 1/2] ⇒ f est décroissante sur [0 ; 1/2]⇒ la suite (Un) est décroissante sur l'intervalle [0 ; 1/2]
donc f '(x) ≥ 0 sur [1/2 ; + ∞[ ⇒ f est croissante sur [1/2 ; + ∞[ ⇒ la suite est croissante sur [1/2 ; + ∞[
3) peut -on avoir Un = 2013 ? Justifier
soit f(x) = 2013 ⇔ x² - x - 2 = 2013 ⇔ x² - x - 2015 = 0
Δ = 1 + 8060 = 8061 ⇒√8061 ≈ 89.78
x = 1 + 89.78)/2 ≈ 45
la réponse est oui
on peut aussi justifier en utilisant la limite
limUn = lim (n² - n - 2) = lim n²(1 - 1/n - 2/n²) = + ∞ car 1/n et 1/n² → 0
n→+∞ n→+∞ n→+∞
Explications étape par étape :
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