Réponse :
V(x) = 4 x³ - 84 x² + 432 x
4) pour quelle(s) valeur(s) de x, la contenance de la boite est-elle maximale ?
V'(x) = 12 x² - 168 x + 432
= 12(x² - 14 x + 36) ⇒ V'(x) = 0 ⇔ V'(x) = x² - 14 x + 36 = 0
Δ = 196 - 144 = 52
x1 = 14 + √52)/2 ≈ 10.6 ∉ [0 ; 9] donc à exclure
x2 = 14 - √52)/2 ≈ 3.39 ≈ 3.4 ∈ [0 ; 9] donc c'est une solution de l'équation
tableau de signes et de variations de V' et V sur [0 ; 9]
x 0 3.4 9
signe de V' + 0 -
variations de V 0 →→→→→→→→→→ ≈ 655 →→→→→→→ 0
croissante décroissante
5) l'industriel peut-il construire une boite dont la contenance
est ≥ 650 cm³ ? Justifier
d'après le tableau de variation pour x = 3.4 cm; la boite a une contenance maximale de 655 cm³ environ
donc V(x) ≥ 650 cm³ ⇔ 4 x³ - 84 x² + 432 x ≥ 650
pour x = 3.05 cm ⇒ 4*3.1³ - 84*3.1² + 432*3.1
= 119.164 - 807.24 + 1339.2 = 651. 124 > 650 cm³
donc l'industriel peut construire des boites de contenance ≥ 650 cm³
avec 3.1 ≤ x ≤ 3.4
Explications étape par étape :