Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1)
en admettant que MNPQ soit un carré, son aire A est égale à
B = L'aire du carré ABCD moins C l'aire de 4 fois des triangles MBN, NCP,PDQ et QAM
donc A = B - C
B=aire du carré ABCD est égal à 10 × 10 = 100
l'aire de chaque triangle est identique et est de la forme (b × h) /2 ou b = base et h = hauteur
C = Aire des 4 triangles = 4 ×((10 - x) × x) /2 avec b = 10 - x et h = x
C = 2 ( (10 - x) × x)
C = 2 ( 10 x - x²)
C = 20 x - 2x²
B=aire du carré ABCD est 10 × 10 = 100
donc A = B - C
A = 100 - (20 x - 2x²)
A = 100 - 20x + 2x²
A = 2x² - 20x + 100 = f(x)
2) l'ensemble de définitions de f(x) est [ 0;10] car les points M,N,P,Q appartiennent au segments [AB], [BC], [CD] et [DA] de longueurs égales à 10
3)
2x² - 20x + 100 = f(x)
f est une fonction dérivable sur [0,10]
donc f'(x) = 4x - 20
f' s'annule si 4x - 20 = 0
si 4x = 20
si x = 20/4
si x = 5
tableau de signe de f
x 0 5 10
4x - 20 - ⊕ +
f' - ⊕ +
f décroissante ⊕ croissante
donc la fonction f(x) a un minimum en x = 5
donc l'aire A = f(x) = 2x² - 20x + 100 qui est l'aire de MNPQ est minimale pour x = 5
