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Sagot :
Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie
pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]
Etape 1 - Initialisation
pour n = 0 [tex]u_0=1[/tex]
et [tex](0+1)^2=1^2=1[/tex]
Donc c'est vrai au rang 0
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang p et démontrons alors que cela reste vrai au rang p+1
Hypothese de Récurrence est [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]
et nous devons montrer que [tex]u_{p+1}=((p+1)+1)^2=(p+2)^2[/tex]
Nous savons que
[tex]u_{p+1}=u_p+2p+3[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]
cela donne
[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3[/tex]
Développons
[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3=p^2+2p+1+2p+3=p^2+4p+4=(p+2)^2[/tex]
donc cela reste vrai au rang p+1
Etape 3 - conclusion
Nous venons donc de démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie
pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]
Merci
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Un+1 = Un + 2n+3 avec Uo = 1
■ U1 = 4 ; U2 = 9 ; U3 = 16 ; ...
■ ■ démo par récurrence :
Un+1 = Un + 2n+3 or on souhaite Un = (n+1)²
donc Un+1 = (n+1)² + 2n+3
= n²+2n+1 + 2n+3
= n² + 4n + 4 .
or on a aussi Un+1 = (n+1 + 1)² = (n+2)² = n² + 4n + 4 .
■ ■ ■ conclusion :
on a bien Un = (n+1)² .
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